Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Lemma. F¨ ur alle P, Q ∈ X und alle v ∈ V gilt: 1) d(P, Q) 0 und d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q 2) d(P, Q) = d(Q, P ) Symmetrie“ ” 3) d(P, R) d(P, Q) + d(Q, R) Dreiecksungleichung“ ” 4) d(P + v, Q + v) = d(P, Q) Translationsinvarianz“ ” −−→ −−→ −→ Beweis. 5. 20 gilt P Q + QR = P R, woraus −−→ −−→ P Q = −QP f¨ ur R = P folgt. 5 ergibt dies 2. Und 3. 7: P R = P Q + QR P Q + QR . 20 gilt P + P Q = Q. Dies ergibt −−−−−−−−−−−→ (P + v) + (P + v)(Q + v) = Q + v −−→ −−→ = (P + P Q) + v = P + (v + P Q) −−→ = (P + v) + P Q.

W : W¨ urfelgruppe der 24 Drehungen, die einen W¨ urfel oder ein Oktaeder in sich u uhren. ¨berf¨ • I : Ikosaedergruppe der 60 Drehungen, die ein Dodekaeder oder ein Isokaeder in sich u uhren. ¨berf¨ Beweis. Die Idee ist, die Pole von G auf der Einheitssph¨ are S 2 := x ∈ ❘3 | x = 1 abzuz¨ahlen. Dabei heißt ein Punkt p ∈ S 2 ein Pol von G, falls es eine Drehung γ = id aus G gibt mit γ(p) = p . Man nennt dann p auch Pol von γ . Die Schwierigkeit bei der Z¨ ahlung der Pole von G ist, dass ein Punkt p ∈ S 2 ein Pol von mehreren Elementen aus G sein kann.

Fall 2: Es gibt genau zwei Bahnen. Dann folgt mit (3) 2− 1 1 2 =1− +1− N r1 r2 und daher 2 1 1 = + N r1 r2 Es ist ri N , da N = ni ri gilt. Also folgt r1 = r2 = N und somit n1 = n2 = 1. Beide Bahnen haben die L¨ange 1. 11 Endliche Untergruppen der Drehgruppe von ❘3 45 Pole p und p , und beide sind Fixpunkte (werden von allen Elementen aus G festgelassen wegen N = r1 = r2 ). Also liegen sich p und p auf der Sph¨ are gegen¨ uber, d. h. sie liegen beide auf einer Geraden durch 0. Die Gruppe G kann also nur aus Drehungen um die Drehachse bestehen.

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