Formes différentielles : Applications élémentaires au calcul by Henri Cartan

By Henri Cartan

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Pn d’abscisses a1 , a2 . . an est égal, en vertu du principe de superposition, à : E = P1 f (a1 ) + P2 f (a2 ) + . . 2 Lignes d’influence des déformations Le théorème de Maxwell-Betti montre que : – la ligne d’influence du déplacement vertical d’une section S d’abscisse x sous l’action d’une charge verticale unité d’abscisse a est la ligne représentative d’un déplacement vertical de la section S d’abscisse a sous l’action d’une force verticale unité placée dans la section d’abscisse x ; – la ligne d’influence de la rotation d’une section S d’abscisse x sous l’action d’une charge verticale unité d’abscisse a est la ligne représentative d’un déplacement vertical de la section S d’abscisse a sous l’action d’un couple unité placé dans la section d’abscisse x.

4) WFext : les efforts et les déplacements ne sont pas indépendants, il faut donc prendre en compte l’histoire du chargement. 5) −WFint : potentiel interne W ou énergie de déformation élastique. 6) avec S R : section réduite en cisaillement. L’égalité de Clapeyron ne dépend que de l’état initial et de l’état final de la structure. 3 THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ DE MAXWELL-BETTI Ce théorème se déduit de l’égalité de Clapeyron en considérant deux systèmes de chargement appliqués à la même structure. Le travail produit par un système de chargement S1 sur une structure dans le champ de déplacement dû à un système de chargement S2 est égal au travail du système de chargement S2 dans le champ de déplacement dû à S1 .

3 Exemple Un exemple simple est traité ici, permettant dans un cadre isostatique de comprendre les principales étapes de détermination des efforts et déplacements dans la structure. Soit une poutre isostique de longueur l, de moment quadratique I et de module d’Young E supportant une charge concentrée au tiers de sa longueur comme indiqué sur la figure ci dessous. 1 ➤ Détermination des réactions d’appuis Nous noterons H les réactions d’appuis verticales en un point donné, V les verticales et M les moments fléchissants.

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