Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger by Gerd Fischer

By Gerd Fischer

Das seit über 30 Jahren bewährte, einführende Lehrbuch eignet sich als Grundlage für eine zweisemestrige Vorlesung für Studierende der Mathematik, Physik und Informatik. Für einen schnellen und leichteren Einstieg ist das Buch ebenfalls zu verwenden, indem die markierten Abschnitte weggelassen werden. Zentrale Themen sind: Lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Skalarprodukte. Besonderer Wert wird darauf gelegt, Begriffe zu motivieren, durch Beispiele und durch Bilder zu illustrieren und konkrete Rechenverfahren für die Praxis abzuleiten. Der textual content enthält zahlreiche Übungsaufgaben. Lösungen dazu findet guy in dem von H. Stoppel und B. Griese verfassten "Übungsbuch zur Linearen Algebra ". Zur Motivation der Studierenden enthält das Buch eine Einführung, in der die Bedeutung der Linearen Algebra als Grundlage innerhalb der Mathematik und ihren Anwendungen beschrieben wird.

Warum Lineare Algebra? - Lineare Gleichungssysteme - Grundbegriffe - Lineare Abbildungen - Determinanten - Eigenwerte - Euklidische und unitäre Vektorräume - Dualität und Tensorprodukte

Studienanfänger in den Fächern Mathematik, Physik und Informatik

Prof. Dr. Gerd Fischer battle viele Jahre Professor für Mathematik an der Universität Düsseldorf. Er ist jetzt als Honorarprofessor an der Fakultät für Mathematik der TU München tätig.

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Example text

Dann hat man eine Abbildung t . JR+ -* JR+ , +~ , X 1-+ wobei JR+ := {x E JR : x 2: O} . Mit einer Abbildung kann man nicht nur Elemente, sondern auch Teilmengen bewegen . Sei also f: X -* Y und M C X , N C Y . Dann heißt f(M) := (y E Y : es gibt ein x E M mity = fex)} c Y das Bild von M (in Y), insbesondere feX) das Bild von X in Y , und rl(N) ;= (x E X : fex) E N} C X das Urbild von N in X. Man beachte , daß für eine einelementige Menge N = {y} das Urbild r'i» := r'({y}) c X eine Teilmenge ist, die aus mehreren Elementen bestehen , aber auch leer sein kann (etwa bei fex) = Xl).

Damit ist gezeigt, daß a in mindestens einer Äquivalenzklasse enthalten ist. Es bleibt zu zeigen, daß zwei Äquivalenzklassen A und A ' entweder gleich oder disjunkt sind. Angenommen, es ist AnA ' # 0 und a E AnA' . Ist x E A , so ist x ~ a, und wegen a E A' folgt auch x E A' . Also ist A c A' . Ebenso 0 beweist man A' C A, woraus A = A' folgt. Jede Äquivalenzrelation R auf einer Menge X liefert also eine Zerlegung von X in disjunkte Äquivalenzklassen . Diese Äquivalenzklassen betrachtet man als Elemente einer neuen Menge , die man mit XI R bezeichnet.

NI. Für jedes i hat man eine Projektion auf die i-te Komponente ni : XI x . Ist speziell X I = . . X XII ---+ Xi , = XII = (XI,'" ,Xi , • •. ' Xn) X 1-+ XII #- 10, wenn Xi . X , so schreibt man XII =X X ••• X X. Ein Element von XII ist also eine Abbildung {I , . . ,n} ---+ X. Ist allgemeiner I irgendeine Menge (man nennt sie Indexmenges, so nennt man eine Abbildung cp : I ---+ X , i 1-+ Xi = cp(i) , eine Familie von Elementen in X. Man beachte den Unterschied zu einer Teilmenge X' C X , die man mit cp(I) vergleichen kann: die Elemente i E I kann man als Etiketten (oder noch näher am Familienleben als Pflichten) ansehen, die unter den Elementen von X verteilt werden.

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