Lineare Algebra I [Lecture notes] by Rainer Schulze-Pillot

By Rainer Schulze-Pillot

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Example text

Sei A ∈ M (p × n, K) eine p × n-Matrix mit Eintr¨agen aus dem K¨orper K. Dann ist der Zeilenrang von A gleich dem Spaltenrang von A. Beweis. Jede elementare Zeilenumformung (und damit auch jede Abfolge elementarer Zeilenumformungen) definiert, angewendet auf Vektoren x ∈ K p , eine umkehrbare Abbildung f : K p −→ K p , deren Linearit¨at man sofort nachpr¨ uft; die Abbildung f ist also ein Isomorphismus von K p auf sich. Formt man A durch elementare Umformungen in eine Matrix A in reduzierter Zeilenstufenform mit r = rg(A) = rg(A ) um, so ist, wie oben bemerkt, r die Dimension von U := {b ∈ K p | A x = b hat eine L¨osung}.

Das rechnet man leicht nach. 13. Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in K (mit A ∈ M (p × n, K), b ∈ K p ), L = L(A, b) ⊆ K n die L¨osungsmenge, L0 = L(A, 0) die L¨osungsmenge des zugeh¨origen homogenen Systems Ax = 0. Dann gilt: a) Das System Ax = b ist genau dann l¨osbar, wenn b ∈ Im(LA ) gilt; n die L¨osungsmenge L ist das Urbild L−1 A ({b}) = {x ∈ K | LA (x) = b}. b) Insbesondere gilt f¨ ur die L¨osungsmenge L0 des homogenen Gleichungssystems L0 = Ker(LA ) ist ein Untervektorraum des K n .

12. Sei   a11 . . a1n ..  = (a ) 1≤i≤p ∈ M (p × n, K). A =  ... ij . 1≤j≤n ap1 . . apn Dann definiert A durch   x1 LA  ...  :=   xn  y1 ..  . yp n mit yi = aij xj (1 ≤ i ≤ p) eine Abbildung j=1 LA : K n −→ K p , die zu A geh¨orige lineare Abbildung von K n nach K p . Man schreibt auch LA (x) =: Ax. Beweis. Das rechnet man leicht nach. 13. Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in K (mit A ∈ M (p × n, K), b ∈ K p ), L = L(A, b) ⊆ K n die L¨osungsmenge, L0 = L(A, 0) die L¨osungsmenge des zugeh¨origen homogenen Systems Ax = 0.

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