Lineare Algebraische Gruppen by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Hieraus folgt ai ∈ Rad(0) und also ai = 0 f¨ ur alle i, da A ein Integrit¨atsring ist. Analog folgt cj = 0 f¨ ur alle j im zweiten Fall. Bemerkung Mit den im Beweis von (ii) benutzen Methoden erh¨alt man einen alternativen Beweis von (i). Der obige Satz ist i. Allg. falsch, wenn K nicht algebraisch abgeschlossen ist, z. B. ist C ⊗R C kein Integrit¨ atsring, vgl. Aufgabe 22. 12 Produkt algebraischer Mengen Satz Seien V ⊂ K n und W ⊂ K m algebraische Mengen, wobei K algebraisch abgeschlossen sei.

2) Sei V u ¨ber F definiert. Dann gibt es ein Ideal I in F [X1 , . . , Xn ] so, dass I(V ) = I · K[X1 , . . , Xn ] gilt. Setzt man F [V ] := F [X1 , . . 10 (vii). Diese Beobachtung f¨ uhrt zur folgenden Definition. 3) Definition: Eine F -Struktur auf V ist eine F -Unteralgebra F [V ] der zu V geh¨ origen affinen Algebra K[V ] mit den Eigenschaften: (a) F [V ] ist endlich erzeugt als F -Algebra. (b) Der von der Multiplikation K × F [V ] → K[V ], (λ, a) → λa, induzierte F -Algebrahomomorphismus K ⊗F F [V ] → K[V ] ist ein Isomorphismus.

Aufgabe 11. 15. Ist R ein kommutativer Ring, so definiert man auf der Menge Spec(R) der Primideale von R eine gewisse ringwertige Garbe OSpec(R) . Das Paar (Spec(R), OSpec(R) ) nennt man dann ein affines Schema. Ein Schema ist ein geringter Raum“ (topologischer Raum mit einer Garbe ” O von Ringen), in dem es zu jedem Punkt eine offene Umgebung U so gibt, dass (U, O|U ) isomorph zu einem affinen Schema ist, vgl. z. B. [9] Kap. V. Man kann dann von einem Schema u ¨ber einem beliebigen Grundk¨orper ausgehen statt von einer Pr¨ avariet¨at u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨ orper wie in 4).

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