Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen, lineare by Matthias Plaue, Mike Scherfner

By Matthias Plaue, Mike Scherfner

Dies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die neuen Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Grundlagen und danach den Stoff der linearen Algebra und eindimensionalen research. Damit deckt es den Stoff ab, der an Universitäten wesentlich im ersten Semester behandelt wird. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure.

Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen.

Auf einen Blick:

  • Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur.
  • Zahlreiche Erläuterungen.
  • Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert.
  • Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen.
  • Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen.
  • Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art.

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Example text

1) M ⊆N (8) {0,1} ∈ M (2) M ⊆Z (9) M ∪ {0,1} = {0,1} (3) M ⊆M (10) ∅∩M =M (4) M ⊂M (11) ∅⊂M (5) M ∩Z=M (12) M ∩R=R∩M (6) M ∪Z=M (13) M ⊂ (N \ Z) ∪ {0,1} (7) {2} ∩ M = ∅ (14) M ⊂ (Z \ N) ∪ {0,1} (15) M ⊂ (Z \ N) ∪ {−1,0} 2 Definition, Satz, Beweis und mehr Einblick Die mathematische Logik und Mengenlehre bilden wesentlich die Basis der Mathematik. Allerdings gibt es auch in diesen Teildisziplinen Definitionen, S¨atze und Beweise, wie sie zuvor bereits vorgekommen sind. Wir haben dabei von einem nat¨ urlichen (naiven) Verst¨ andnis Gebrauch gemacht.

Erl¨ auterung Teils wird beim indirekten Beweis indirekt die Annahme, es g¨abe keine L¨osung, zum Widerspruch gef¨ uhrt. Daraus folgt dann, dass eine L¨osung existiert. Beispiel Die Funktion f (x) = −2x + 1 hat zwischen x = 0 und x = 1 eine Nullstelle. Sei zum Beweis x0 = 12 . Dann gilt f (x0 ) = 0, und x0 liegt offensichtlich zwischen 0 und 1. Nicht immer ist ein solcher Beweis jedoch m¨ oglich, so gilt beispielsweise: Die Funktion g(x) = 2x − 3x hat zwischen x = 0 und x = 1 eine Nullstelle. Mit dem sp¨ ater behandelten Zwischenwertsatz werden wir zeigen k¨onnen, dass wir nicht nur f¨ ur diese explizite Funktion Nullstellen garantieren k¨onnen, sondern grunds¨ atzlich f¨ ur Funktionen mit speziellen Eigenschaften.

Sei A∪B = A, dann ist wegen der Adjunktivit¨at der Mengenverkn¨ upfungen A ∩ B = (A ∪ B) ∩ B = B. 3. Sei A ∩ B = B. Unter dieser Voraussetzung gilt: Ist x ∈ B, so ist x ∈ A ∩ B, d. h. x ist sowohl in A als auch in B enthalten. Damit gilt aber insbesondere auch x ∈ A. Da x ∈ B beliebig gew¨ahlt war, gilt dies f¨ ur ein jedes solches x, und wir haben B ⊆ A. A B B ist eine Teilmenge von A Das Gegenbeispiel Definition Ein Gegenbeispiel in der Mathematik ist ein Sachverhalt, der eine Aussage widerlegt, ein Beispiel ein solcher, der eine Aussage best¨atigt.

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