Mathématiques : Méthodes et exercices BCPST 1e année by Arnaud Bégyn, Guillaume Connan

By Arnaud Bégyn, Guillaume Connan

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Les Lames du Roi, Tome 2 : Le Seigneur des Terres de Feu

Lorsqu'un gar? on devient une Lame, sa vie ne lui appartient plus. Seule los angeles mort peut briser los angeles cha? ne enchant? e qui le lie ? l. a. personne qu'il a jur? de d? fendre. Et jamais, de m? moire d'homme, on n'avait vu un candidat refuser l'honneur de servir son roi. Jusqu'? ce jour. Le jour o? le jeune Gu?

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2n)! (n + 1)! = (2n + 1)(2n + 2) × = = c) Les deux suites (u n ) et (vn ) étant convergentes, on peut appeler et leurs limites respectives. D'après la définition de la suite (vn ), on a : lim n→+∞ 2 2(n + 1)(2n + 1) 4(n + 1)2 2n + 1 <1 2n + 2 2 =0× 2 . e. que lim u n = 0. 5 On va procéder par encadrement. Pour encadrer une somme, il faut encadrer le terme général puis additionner les inégalités. 4 u n+1 un La suite (vn ) est donc elle aussi décroissante et minorée par 0 : elle est donc convergente d'après le théorème de la limite monotone.

1 3 1 3 1 3 1 3 j=0 n−1 2n + j(1 + j)n + j (1 + j)n n−1 n k=0 j=0 On permute alors les signes : 2n + j(1 + j)n + j(1 + j)n n−1 2n + 2Re j(1 + j)n k=0 n (1 + ωk )n = 4inπ 2iπ 3 (−1)n e 3 = = (−1)n e 2i(2n−1)π 3 , ce qui donne : Re n j(1 + j) n = (−1) cos n−1 n j j=0 k=0 n−1 n 0 (1 + ωk )n = k=0 n−1 1k + j=1 On obtient donc : Tn = 1 n 2 + 2(−1)n cos 3 2(2n − 1)π 3 . n−1 et comme k=0 n−1 ωj k k=0 n−1 n j ωj k=0 +(1 + j j + j j)Un = 3Un . k k=0 n−1 n n 1k , k=0 n−1 1k = k=0 1=n : n−1 2 An + jBn + jCn = (1 + j + j)Sn + (1 + j + j 2 )Tn n−1 (1 + ωk )n = 2n + j=1 n j n−1 ωj k .

Pour cela, on peut faire appel à un encadrement et au lim n→+∞ vn théorème des gendarmes. 13 • On ne peut pas additionner des équivalents mais en prenant un équivalent de chaque terme de la somme on peut deviner l'équivalent final. On le vérifie alors « à la main ». 8 • Il n'y a pas de résultat général permettant de composer un équivalent par une fonction, mais on peut supposer que sur l'exemple considéré le résultat est valide. Il suffit de le vérifier « à la main ». 1 Exemples d'utilisations des théorèmes sur les limites Soient (u n ) et (vn ) deux suites réelles.

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