Pruefungstrainer Lineare Algebra by Rolf Busam, Thomas Epp

By Rolf Busam, Thomas Epp

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Ein analoger Zusammenhang gilt f¨ ur alle Erweiterungsk¨ orper eines Grundk¨ orpers K (vgl. [4]). (iv) Die komplexen Zahlen C := {a + bi ; a, b ∈ R} sind insbesondere ein R-Vektorraum. (v) Jeder K¨ orper K besitzt die Struktur eines K-Vektorraums, indem man die Multiplikation als skalare Multiplikation deutet. Frage 96 Was versteht man unter einem Unterraum eines K-Vektorraums V ? Antwort: Eine nichtleere Teilmenge U ⊂ V heißt Untervektorraum oder linearer Unterraum oder kurz Unterraum von V , wenn U zusammen mit der in V gegebenen Vektoraddition und skalaren Multiplikation ebenfalls einen Vektorraum bildet.

Wm ) von W , so impliziert U ∩W = {0}, dass das System (u1 , . . , ur , w1 , . . , wm ) linear unabh¨ angig und damit eine Basis von U + W ist. Jeder Vektor v ∈ U + W hat dann eine eindeutige Darstellung r m r m v = i=1 αi ui + i=1 βi wi mit u = i=1 αi ui ∈ U und w = i=1 βi wi ∈ W . Frage 126 Wann gilt f¨ ur zwei Unterr¨aume U und W eines endlichdimensionalen K-Vektorraums dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W )? Antwort: Nach der Dimensionsformel aus Frage 124 gilt die Formel genau dann, wenn dim(U ∩ W ) = 0, also U ∩ W = {0} gilt bzw.

Eine Ringstruktur auf R/a erkl¨ art man mittels der Verkn¨ upfungsregeln [a] + [b] := [a + b], [a] · [b] := [a · b]. Hier ist wie in Antwort 40 zu zeigen, dass diese Regeln unabh¨ angig von der Auswahl der Repr¨ asentanten sind. Gilt etwa [a] = [a′ ] und [b] = [b′ ], dann hat man a − a′ ∈ a und b − b′ ∈ a, und es folgt (a+b)−(a′ +b′ ) = (a−a′ )+(b−b′ ) ∈ a, (a·b)−(a′ ·b′ ) = b(a−a′ )+a′ (b−b′ ) ∈ a, also [a + b] = [a′ + b′ ], [a · b] = [a′ · b′ ]. angig von der AusDie Multiplikation und Division in R/a ist also wirklich unabh¨ wahl der Repr¨ asentanten.

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