Un cours de theorie analytique des nombres by Emmanuel Kowalski

By Emmanuel Kowalski

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Lorsqu'un gar? on devient une Lame, sa vie ne lui appartient plus. Seule l. a. mort peut briser l. a. cha? ne enchant? e qui le lie ? l. a. personne qu'il a jur? de d? fendre. Et jamais, de m? moire d'homme, on n'avait vu un candidat refuser l'honneur de servir son roi. Jusqu'? ce jour. Le jour o? le jeune Gu?

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3) Si an 2 O pour tout n , alors le produit ( 1 + a,) est absolument convergent si et seulement si la sirie 2 a, est absolument convergente. ( 4 ) Soit a, : U + C des fonctions holomorphes sur un ouvert U de C telles que C a, ( z ) converge unqormément sur les compacts dans U . Alors le produit inJini f (2) = ( 1 + a, ( 2 ) ) converge absolument pour z E U , uniformément sur les compacts. n n APPENDICE : PRODUITS INFINIS 53 De plus, la fonction f est une fonction holomorphe sur U , f ( z ) = O si et seulement si il existe m tel que a, ( 2 ) = - 1 , et on a la série convergeant absolument et unijormément sur tout compact dans 1'ouvert V = {x EU / a, ( z ) # 1 pour tout m).

31) d O on a (2) En déduire que Df(s) admet un prolongement analytique à o croissance polynomiale dans les bandes verticales. 4. CARACTERES DE GROUPES ABÉLIENS FINIS 39 (Cette constante intervient dans la solution du problème des diviseurs de Titchmarsh, cf: Chapitre 4).

Il s'agit encore d'un phénomène d'oscillation (de la fonction x H e ( h x ) ) donnant lieu à des compensations dans les in tégrales f ( x )e ( -h x ) d x . 13) de la fonction Pl,(z) qui sera utilisée pour démontrer le théorème principal. 2. - Soit f ( x ) = e - " ~ ~la fonction cloche classique. Il est bien connu que f est « sa propre transformée de Fourier ». 3. - Soit y Démonstration. > O et f y ( x ) = e-nyxz . Alon pour tout 5 - Par changement de variable A donc il suffit de traiter y = 1 où il s'agit effectivement de démontrer f = f .

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